Twierdzenie Fermata i 380 lat na jego udowodnienie

Niewiele pomysłów i rozumowań zajmowało myśli i uwagę matematyków i samouków tak długo, jak Ostatnie Twierdzenie Fermata. To twierdzenie jest najbardziej znanym twierdzeniem matematycznym, którego udowodnienie zajęło ponad 380 lat. Co więcej, w 1908 r. Podniecenie wokół niej wzrosło po obietnicy przyznania nagrody za jej rozwiązanie.

Cała trudność w udowodnieniu tego twierdzenia polegała na tym, że konieczne było udowodnienie braku rozwiązania. Wydawało się, że jego istota jest tak łatwa do zrozumienia, ale jak trudno ją rozwiązać!

Dowód tego ujednoliconego twierdzenia matematycznego jest ściśle związany z rozwojem historii matematyki, kształtowaniem nowych kierunków i pogłębianiem wiedzy człowieka o abstrakcji. W tym artykule porozmawiamy o tym, kto udowodnił twierdzenie Fermata i ile czasu to zajęło.

Prawnik Pierre de Fermat – „król miłośników matematyki”

Pierre de Fermat (1601-1665) – francuski sędzia i samouk, znany jako autor najtrudniejszego twierdzenia wszechczasów. Fermat związał swoją karierę i życie z orzecznictwem i pracował w miejscowym parlamencie małego miasteczka Castres (do 1789 roku sądy we Francji nazywano „parlamentem”).

Oprócz błyskotliwej kariery w sądzie, Pierre lubił też matematykę, był samoukiem, czerpiąc wiedzę z książek i korespondencji z rówieśnikami, naukowcami i filozofami tamtych czasów – Kartezjuszem, Pascalem, Bernardem de Bessie i innymi. Pomimo jego statusu amatora, zawodowi matematycy docenili jego korespondencję z Pierrem Fermatem i nazywali go „królem amatorów”. Jego głównym zainteresowaniem była teoria liczb, która na początku XVII wieku stała się bardzo popularna we Francji dzięki nowym wydaniom prac starożytnych greckich matematyków. Badając je, Fermat był w stanie uzasadnić podstawowe problemy związane z rozwiązywaniem wielu problemów, które stały się głównymi dla rozwoju klasycznej teorii liczb.

Największy wpływ na Pierre’a Fermata miała książka „Arytmetyka”, w której studiował, wypełniając pola swoim własnym rozumowaniem, co później zmieniło rozwój myślenia matematycznego. W tej książce grecki matematyk i ojciec algebry, Diofant z Aleksandrii, opisał liczby naturalne Pitagorasa. Na podstawie „Arytmetyki” Fermata, rozwiązując problemy złożonych równań z kilkoma niewiadomymi, sformułował legendarne stwierdzenie, nazwane później na jego cześć Ostatnim Twierdzeniem Fermata. Dowód twierdzenia zajął około 380 lat.

Największym naukowym wkładem Fermata w rozwój matematyki jest zwrócenie uwagi na rolę, jaką odgrywają liczby pierwsze.

Rozumowanie Fermata na temat liczb naturalnych nie było jedynym, a nawet Pitagoras nie był pierwszym, który je uzasadnił. Historia rachunku liczb naturalnych była znana jeszcze w Sumerze i starożytnych Indiach, ale tylko Pitagoras zapisał to rozumowanie we współczesnym wzorze matematycznym: x 2 + y 2 = z 2, a Fermat zwiększył liczbę niewiadomych: xn + yn = zn.

Szczególne zainteresowanie liczbami naturalnymi odżyło na początku XVII wieku po opublikowaniu arytmetyki Diofantusa. Książka ta stała się szczególnie popularna wśród naukowców i filozofów, którzy próbowali racjonalnie wyjaśnić porządek świata, wykluczając jakąkolwiek boską zasadę. Wśród nich był Pierre Fermat.

Czytając Arytmetykę wpadł na pomysł zastąpienia wykładnika 2 w twierdzeniu Pitagorasa dowolną inną liczbą. Wtedy zdał sobie sprawę: nie ma rozwiązania takiego sądu i można to udowodnić. Ale sam dowód nie został spisany z powodu braku miejsca w książce. Na stronach Księgi II, rozważając Problem 8, Fermat napisał tylko co następuje:

„Niemożliwe jest rozłożenie sześcianu na dwie kostki, dwukwadratu na dwa kwadraty, na dwa stopnie z tym samym wykładnikiem. Znalazłem naprawdę wspaniały dowód, ale marginesy książki są dla niego zbyt wąskie ”.

Stwierdzenie Fermata, że ​​nie ma prostego rozwiązania równania, na przykład 3 2 +4 2 = 5 2, gdy n˃2, które jest liczbą całkowitą, zostało później udowodnione przez niewielu. Dziś wiadomo, że Fermat udowodnił brak rozwiązania dla n = 4. A z jego korespondencji wiadomo, że przeprowadził również dowód dla n = 3, ale nie udało się go znaleźć wśród liter.

Rozumowanie Fermata na temat liczb pierwszych stało się szeroko znane po opublikowaniu przez jego syna Samuela w 1670 roku książki „Arytmetyka”, ale z komentarzami ojca. Udowodnienie tego zajęło ponad 350 lat. Setki matematyków próbowało udowodnić twierdzenie Fermata, ale tylko Andrew Wilesowi udało się to w 1993 roku.

Istotne jest, że teoria Fermata nie ma oczywistej wartości praktycznej. Ale jego sformułowanie podnieciło umysły setek matematyków, co z kolei naprawdę zaowocowało rozwojem teorii matematyki. Oprócz legendarnego Wielkiego (lub „Ostatniego”, jak się je też nazywa) twierdzenia Fermata, równie ważną rolę w rozwoju matematyki odgrywa inne twierdzenie, małe.

Małe twierdzenie Fermata jest kolejnym słynnym rozumowaniem, które Fermat opisał w liście do przyjaciela w 1640 roku. Twierdzenie to odczytuje się w następujący sposób: jeśli liczba całkowita n nie jest podzielna przez liczbę pierwszą p , to n p – 1 – 1 jest podzielna przez liczbę p .

Dowód tego twierdzenia nie wymagał tyle czasu i wysiłku, jak w przypadku jego poprzednika, ale jego rola w rozwoju myślenia matematycznego jest niewątpliwie nieoceniona. Dziś jest to jedno z najważniejszych twierdzeń elementarnej teorii liczb, kryptografii i współczesnej algebry.

Ostatnie twierdzenie Fermata nie zostało szczegółowo wyjaśnione nawet przez samego autora. Może jego dokumenty zaginęły, ale najprawdopodobniej on sam nie widział takiej potrzeby.

Chodzi o to, że naszym zdaniem skąpe wyjaśnienie stwierdzenia na marginesie książki „Arytmetyka” jest dla nas niezrozumiałe, ale nie wydaje się takie, biorąc pod uwagę kontekst, w jakim Fermat rozwijał swoje idee. Przez całe życie prowadził aktywną korespondencję z innymi naukowcami i amatorami matematyki i były to długie dyskusje pisemne, w których bardzo ważne było zrozumienie spójności i przemienności liter. Było to społeczeństwo, którego członkowie doskonale się rozumieli. Dlatego gadatliwość w takim środowisku po prostu nie była konieczna.

Inną sugestią, dlaczego Fermat nie opracował szczegółowego wyjaśnienia swojego twierdzenia, jest to, że nie był zawodowym matematykiem, jak na przykład René Descartes czy François Viet, a tym bardziej, że nie próbował osiągnąć uznania w tej dziedzinie, poza aprobatą przyjaciół i podobnie myślących ludzi. , które oczywiście już otrzymałem. Niemniej jednak Fermat rozumiał oryginalność swoich pomysłów i podejść, a także fakt, że jego metody myślenia pomagają innym matematykom.

Poruszony teorią liczb pierwszych, Fermat zrozumiał, że liczby naturalne nie są nieskończone. Uważał, że metoda, którą znalazł, jest ogólna i może być użyta do udowodnienia dowolnego twierdzenia o liczbach naturalnych. Ale rzeczywistość okazała się inna. Metoda okazała się nie tak uniwersalna, jak rozumował Fermat. Udowodnienie tego zajęło naukowcom ponad trzy wieki.

We wczesnych latach dziewięćdziesiątych twierdzenie Fermata zostało już udowodnione dla wykładników o różnych stopniach do 4 000 000. Jednak naukowcy nadal poszukiwali wykładnika, dla którego twierdzenie to okaże się fałszywe.

Andrew Wiles, matematyk z Princeton, był w stanie udowodnić to twierdzenie w 1993 roku, spełniając marzenie, które miał w wieku 10 lat. Przez lata stosował liczne metody, za pomocą których różni naukowcy próbowali udowodnić twierdzenie Fermata. A w 1986 roku, opuszczając wszystkie swoje projekty, sam zaczął udowadniać tę teorię, co zajęło 7 lat.

W swoim dowodzie używał skomplikowanych metod obliczeniowych. Jego twórczość opierała się na twórczości gigantów z różnych dziedzin matematyki. Twierdzenie Fermata to złożona zagadka, którą można rozwiązać, łącząc krok po kroku różne podejścia i metody dowodzenia. Pisząc tysiące stron, Wiles był w stanie udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata.

To była długa podróż, która polegała na liczeniu nieskończoności, rozważeniu wszystkich wcześniej stosowanych podejść w celu znalezienia własnej metody dowodu. Najpierw Wiles obliczył wszystkie funkcje eliptyczne, a także modułowe funkcje eliptyczne, których jest nieskończenie wiele, aby pokazać, że ich obliczenia są równoważne. Chociaż to podejście okazało się nieskuteczne, pomogło zrozumieć, dokąd należy pójść dalej. Obliczenia te pomogły Wilesowi zrozumieć, co jest potrzebne, zamiast udowodnić hipotezę Taniyamy-Shimury dla krzywych eliptycznych, aby udowodnić tę samą hipotezę tylko dla krzywych półstabilnych.

Następnie zwrócił się do teorii Galois i przy jej pomocy był w stanie zdefiniować równania eliptyczne i udowodnić, że można kojarzyć się z elementami form modułowych. W ten sposób Wiles był w stanie przeformułować problem w bardziej elastyczne koncepcje. Ale to był dopiero pierwszy krok, który zajął dwa lata.

Później próbował rozwiązać twierdzenie, korzystając z teorii Iwasawy, ale to nie wystarczyło, więc Wiles użył również narzędzi systemu Eulera. Jednak później zdał sobie sprawę, że najbardziej odpowiednim podejściem było podejście Kolyvagin-Flach. I tutaj nowa taktyka zaczęła przynosić owoce.

Na początku 1993 roku Wiles zwerbował swojego przyjaciela Nicka Katza do rozwiązania twierdzenia. Zdecydowali, że na podstawie nowego kursu uniwersyteckiego „Obliczanie na krzywych eliptycznych” będą mogli krok po kroku sformułować twierdzenie Fermata. Podczas tego kursu testowano różne etapy dowodu.

Wiles przedstawił ostateczne wyniki i pierwszy publiczny dowód na konferencji w Cambridge w czerwcu 1993 roku. To zajęło emu trzy godziny. Manuskrypt liczył 200 stron. Następnie rozwiązanie problemu zostało potwierdzone przez komisję ekspertów, a po wyjaśnieniu kilku nieścisłości, w 1995 roku twierdzenie Fermata zostało oficjalnie udowodnione.

Historia matematyki jest po prostu nie do pomyślenia bez wkładu samouka Pierre’a Fermata. Ale z powodu jego odosobnionego stylu życia i wąskiego kręgu kontaktów naukowcy mogli docenić jego pomysły dopiero po jego śmierci i dzięki synowi Samuelowi, który w 1870 roku zaczął publikować szkice i refleksje ojca.

Fermat i jego pomysły stały się pod wieloma względami fundamentalne dla rozwoju nowych teorii matematycznych. Jego mocną stroną była kreatywność i swoboda w ramach jednej dyscypliny: Fermat zastosował metody algebraiczne do problemów geometrycznych, co położyło podwaliny pod geometrię analityczną. Dlatego można uczciwie przypuszczać, że Fermat wraz z Kartezjuszem wpłynął na kształtowanie się geometrii analitycznej, a także na to, że w swojej korespondencji z Pascalem położył podwaliny pod teorię prawdopodobieństwa.

Idee i podejścia Pierre’a Fermata były tak niezwykłe, że jego rozumowanie i interpretacje rozwiązywania problemów wpłynęły na Newtona, a nawet Galileo, a także na inną francuską matematykę, Maren Mersenne, w swojej książce „Universal Harmony” ogólnie nazwał Fermata matematycznym geniuszem.

Nawiasem mówiąc, jeśli jesteś zainteresowany tym, jak rozwijać myślenie, lepiej rozumieć abstrakcje i trzymać w głowie długie formuły, dostrzegać wzorce i tworzyć nowe pomysły, proponujemy wypróbowanie naszych programów „Mnemoniki” i „TRIZ w praktyce”. I choć nie są one bezpośrednio związane z matematyką, to przedstawione w nich informacje, ćwiczenia i zadania świetnie nadają się do podnoszenia poziomu inteligencji i jak wiadomo, można je wykorzystać w dowolnej dziedzinie.

Życzymy powodzenia i do zobaczenia na lekcjach naszych kursów!

Alexander
Alexander
Analityk finansowy 5 lat doświadczenia